Алгебричните изрази са известни като комбинация от букви, знаци и цифри при математически операции. Обикновено буквите представляват неизвестни величини и се наричат променливи или неизвестни. Алгебричните изрази позволяват преводи към математическите изрази на обикновения език. Алгебричните изрази произтичат от задължението да се превеждат неизвестни стойности в числа, които са представени с букви. Клонът на математиката, отговорен за изучаването на тези изрази, в които се появяват цифри и букви, както и знаци на математически операции, е Алгебра.
Какво представляват алгебричните изрази
Съдържание
Както бе споменато по-рано, тези операции не са нищо повече от комбинацията от букви, цифри и знаци, които впоследствие се използват в различни математически операции. В алгебричните изрази буквите имат поведението на цифрите и когато поемат този курс, се използват между една и две букви.
Независимо от израза, който имате, първото нещо, което трябва да направите, е да опростите, това се постига с помощта на свойствата на операцията (ите), които са еквивалентни на числовите свойства. За да намерите числовата стойност на алгебрична операция, трябва да замените определено число за буквата.
Много упражнения могат да бъдат направени върху тези изрази и ще бъдат направени в този раздел, за да се подобри разбирането на въпросната тема.
Примери за алгебрични изрази:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Алгебричен език
Алгебричният език е този, който използва символи и букви за представяне на цифри. Основната му функция е да създаде и структурира език, който помага да се обобщят различните операции, които се извършват в рамките на аритметиката, където се срещат само числа и техните елементарни аритметични операции (+ -x%).
Алгебричният език има за цел да създаде и проектира език, който помага да се обобщят различните операции, които са разработени в рамките на аритметиката, където се използват само числа и техните основни математически операции: събиране (+), изваждане (-), умножение (x) и разделяне (/).
Алгебричният език се характеризира със своята прецизност, тъй като е много по-конкретен от числовия език. Чрез него изреченията могат да бъдат изразени накратко. Пример: множеството от кратни на 3 е (3, 6, 9, 12…) се изразява 3n, където n = (1, 2, 3, 4…).
Тя ви позволява да изразявате неизвестни числа и да извършвате математически операции с тях. Например сумата от две числа се изразява по следния начин: a + b. Поддържа изразяването на общи числови свойства и връзки.
Пример: комутативното свойство се изразява по следния начин: axb = bx a. Когато пишете с помощта на този език, неизвестни величини могат да бъдат манипулирани с прости символи за писане, което позволява опростяване на теореми, формулиране на уравнения и неравенства и проучване на начина за тяхното решаване.
Алгебрични знаци и символи
В алгебра в теорията на множествата се използват както символи, така и знаци и те представляват или представляват уравнения, редици, матрици и т.н. Буквите се изразяват или именуват като променливи, тъй като една и съща буква се използва в други проблеми и нейната стойност намира различни променливи. Сред някои от класификационните алгебрични изрази са следните:
Алгебрични дроби
Алгебрична дроб е известна като част, която е представена от коефициента на два полинома, които показват поведение, подобно на числовите дроб В математиката можете да оперирате с тези дроби, като правите умножение и деление. Следователно трябва да се изрази, че алгебричната дроб е представена от коефициента на два алгебрични израза, където числителят е дивидентът, а знаменателят делителят.
Сред свойствата на алгебричните фракции може да се подчертае, че ако знаменателят е разделен или умножен по същото ненулево количество, фракцията няма да бъде променена. Опростяването на алгебрична дроб се състои в трансформирането й във дроб, който вече не може да бъде редуциран, което е необходимо за факториране на полиномите, съставляващи числителя и знаменателя.
Класификационните алгебрични изрази се отразяват в следните типове: еквивалентни, прости, правилни, неправилни, съставени от числител или нулев знаменател. Тогава ще видим всеки от тях.
Еквиваленти
Сблъсквате се с този аспект, когато кръстосаното произведение е същото, тоест когато резултатът от фракциите е същият. Например, от тези две алгебрични дроби: 2/5 и 4/10 ще бъдат еквивалентни, ако 2 * 10 = 5 * 4.
Просто
Те са тези, при които числителят и знаменателят представляват целочислени рационални изрази.
Собствен
Те са прости дроби, в които числителят е по-малък от знаменателя.
Неправилно
Те са прости дроби, в които числителят е равен или по-голям от знаменателя.
Композитен
Те се образуват от една или повече дроби, които могат да бъдат разположени в числителя, знаменателя или и двете.
Нулев числител или знаменател
Възниква, когато стойността е 0. В случай, че има фракция 0/0, тя ще бъде неопределена. Когато се използват алгебрични дроби за извършване на математически операции, трябва да се вземат предвид някои характеристики на операции с числови дроби, например, за да се започне най-малкото общо кратно, когато знаменателите са с различни цифри.
И при делението, и при умножението операциите се извършват и извършват по същия начин, както при числовите дроби, тъй като те трябва предварително да бъдат опростени, когато е възможно.
Мономиали
Мономиалите са широко използвани алгебрични изрази, които имат константа, наречена коефициент и буквална част, която е представена с букви и може да бъде повишена до различни степени. Например едночленът 2x² има 2 като коефициент, а x² е буквалната част.
На няколко пъти буквалната част може да бъде съставена от умножение на неизвестни, например в случая на 2xy. Всяка от тези букви се нарича неопределена или променлива. Мономът е вид полином с един член, освен това има възможност да бъде пред подобни мономи.
Елементи на мономи
Като се има предвид монома 5x ^ 3; Разграничават се следните елементи:
- Коефициент: 5
- Буквална част: x ^ 3
Продуктът на едночлените е коефициентът, който се отнася до числото, което се появява чрез умножаване на буквалната част. Обикновено се поставя в началото. Ако произведението на едночлените има стойност 1, то не се записва и никога не може да бъде нула, тъй като целият израз би имал стойност нула. Ако има какво да знаете за мономиалните упражнения, то е, че:
- Ако в едночлен липсва коефициент, той е равен на единица.
- Ако който и да е член няма степен на степен, той е равен на единица.
- Ако някоя буквална част не присъства, но се изисква, тя се разглежда с степен на нула.
- Ако нищо от това не се съгласи, значи не сте изправени пред мономиални упражнения, дори бихте могли да кажете, че съществува същото правило с упражненията между полиноми и мономи.
Събиране и изваждане на мономи
За да можете да извършвате суми между два линейни монома, е необходимо да запазите линейната част и да добавите коефициентите. При изважданията на два линейни монома линейната част трябва да се поддържа, както в суми, за да може да се извадят коефициентите, след това коефициентите се умножават и експонентите се добавят със същите основи.
Умножение на мономи
Това е моном, чийто коефициент е произведението или резултатът от коефициентите, които имат буквална част, получена чрез умножаване на степени, които имат абсолютно същата основа.
Деление на мономи
Това не е нищо повече от друг моном, чийто коефициент е коефициентът на получените коефициенти, който освен това има буквална част, получена от деленията между степени, които имат абсолютно еднаква основа.
Многочлени
Когато говорим за полиноми, ние се позоваваме на алгебрична операция на събиране, изваждане и подредено умножение, направено от променливи, константи и експоненти. В алгебра полином може да има повече от една променлива (x, y, z), константи (цели числа или фракции) и експоненти (които могат да бъдат само положителни цели числа).
Полиномите са съставени от крайни членове, всеки член е израз, който съдържа един или повече от трите елемента, с които са направени: променливи, константи или експоненти. Например: 9, 9x, 9xy са всички термини. Друг начин за идентифициране на термините е, че те се разделят чрез събиране и изваждане.
За да решите, опростите, добавите или извадите полиноми, трябва да присъедините термините със същите променливи като например термините с x, термините с „y“ и термините, които нямат променливи. Също така е важно да погледнете знака преди термина, който ще определи дали да добавите, извадите или умножите. Термините със същите променливи се групират, добавят или изваждат.
Видове полиноми
Броят на членовете, които има полином, ще покаже какъв тип полином е, например, ако има едночленен полином, той е изправен пред едночлен. Ярък пример за това е едно от многочленовите упражнения (8xy). Съществува и двучленният полином, който се нарича бином и се идентифицира със следния пример: 8xy - 2y.
И накрая, многочленът от три термина, които са известни като триноми и се идентифицират от едно от полиномиалните упражнения на 8xy - 2y + 4. Триномите са вид алгебричен израз, образуван от сумата или разликата на три термина или мономи (подобни мономи).
Важно е също да се говори за степента на полинома, защото ако е единична променлива, това е най-големият експонентен показател. Степента на полином с повече от една променлива се определя от термина с най-голяма степен.
Събиране и изваждане на полиноми
Сумата на многочлените включва комбиниране на членове. Подобни термини се отнасят до мономи, които имат една и съща променлива или променливи, повдигнати до една и съща степен.
Има различни начини за извършване на полиномиални изчисления, включително сумата от полиноми, което може да се направи по два различни начина: хоризонтално и вертикално.
- Добавяне на полиноми хоризонтално: той се използва за извършване на операции хоризонтално, за излишък, но първо се записва полином и след това се следва на същия ред. След това се записва другият полином, който ще бъде добавен или изваден и накрая, подобни термини се групират.
- Вертикална сума на многочлените: тя се постига чрез записване на първия полином по подреден начин. Ако това е непълно, е важно да оставите пропуските в липсващите термини свободни. След това следващият полином е написан точно под предишния, по този начин терминът, подобен на горния, ще бъде по-долу. Накрая се добавя всяка колона.
Важно е да добавите, че за да добавите два полинома, трябва да се добавят коефициентите на членовете от една и съща степен. Резултатът от добавянето на два термина от една и съща степен е друг член от същата степен. Ако който и да е член липсва в някоя от градусите, той може да бъде попълнен с 0. И те обикновено се подреждат от най-високата до най-ниската степен.
Както бе споменато по-горе, за да се извърши сумата от два полинома, е необходимо само да се добавят членовете от една и съща степен. Свойствата на тази операция се състоят от:
- Асоциативни свойства: при които сумата от два полинома се решава чрез добавяне на коефициентите, придружаващи х, които се издигат до една и съща степен.
- Комутативно свойство: което променя реда на добавяне и резултатът не може да бъде изведен. Неутралните елементи, чиито коефициенти са равни на 0. Когато към неутралния елемент се добави полином, резултатът е равен на първия.
- Противоположно свойство: образувано от полинома, който има всички обратни коефициенти на съвкупните полиномни коефициенти. по този начин, когато се извършва операция на събиране, резултатът е нулевият полином.
По отношение на изваждането на полиноми (операции с полиноми) е наложително мономите да се групират според характеристиките, които притежават, и да започнем с опростяването на подобни. Операциите с полиноми се извършват чрез добавяне на противоположността на изваждането към минута.
Друг ефективен начин да се продължи с изваждането на многочлените е да се напише обратното на всеки полином под другия. По този начин подобни мономи остават в колони и ние продължаваме да ги добавяме. Без значение коя техника се извършва, в крайна сметка резултатът винаги ще бъде един и същ, разбира се, ако е направен правилно.
Умножение на полиноми
Умножение на мономи или упражнения между полиноми и мономи, това е операция, която се извършва за намиране на получения продукт между монома (алгебричен израз, основан на умножението на число и буква, издигната до положителен целочислен експонент) и друга израз, ако това е независим термин, друг моном или дори полином (крайна сума от мономи и независими членове).
Въпреки това, както при почти всички математически операции, умножението на полиноми също има поредица от стъпки, които трябва да се следват при решаването на предложената операция, които могат да бъдат обобщени в следните процедури:
Първото нещо, което трябва да направите, е да умножите монома по неговия израз (умножете знаците на всеки от неговите термини). След това стойностите на коефициентите се умножават и когато стойността се намери в тази операция, се добавя буквалът на мономите, намерени в термините. След това всеки резултат се отбелязва по азбучен ред и накрая се добавя всеки експонент, който се намира в базовите литерали.
Полиномиално деление
Известен още като метод на Руфини. Позволява ни да разделим многочлен на бином, а също така ни позволява да локализираме корените на многочлен, за да го разделим на биноми. С други думи, тази техника дава възможност да се раздели или разложи алгебричен полином от степен n, в алгебраичен бином и след това в друг алгебричен полином със степен n-1. И за да е възможно това, е необходимо да се знае или да се знае поне един от корените на уникалния полином, за да е точно разделянето.
Това е ефективна техника за разделяне на полином на бином от формата x - r. Правилото на Руфини е частен случай на синтетично деление, когато делителят е линеен фактор. Методът на Руфини е описан от италианския математик, професор и лекар Паоло Руфини през 1804 г., който в допълнение към изобретяването на известния метод, наречен правило на Руфини, който помага да се намерят коефициентите на резултата от фрагментацията на полином от двучлен; Той също така открива и формулира тази техника върху приблизителното изчисляване на корените на уравненията.
Както винаги, когато става въпрос за алгебрична операция, Правилото на Руфини включва поредица от стъпки, които трябва да бъдат изпълнени, за да се постигне желаният резултат, в този случай: намерете коефициента и остатъка, присъщи на разделянето на всеки тип полином и бином на форма x + r.
На първо място, при стартиране на операцията, изразите трябва да бъдат прегледани, за да се провери или да се определи дали наистина се третират като полиноми и биноми, които отговарят на формата, очаквана от метода Ruffini Rule.
След като тези стъпки бъдат проверени, полиномът е подреден (в низходящ ред). След като тази стъпка приключи, се вземат предвид само коефициентите на членовете на полинома (до независимия), като се поставят в ред отляво надясно. Остават се интервали за необходимите термини (само в случай на непълен полином). Знакът на камбуза е поставен вляво от реда, който се състои от коефициенти на дивидентния полином.
В лявата част на галерията продължаваме да поставяме независимия член на бинома, който сега е делител и неговият знак е обратен. Независимият се умножава по първия коефициент на полинома, като по този начин се регистрира във втори ред под първия. Тогава вторият коефициент и произведението на мономиалния независим член се изваждат от първия коефициент.
Независимият член на бинома се умножава по резултата от предишното изваждане. Но също така, той се поставя на втория ред, което съответства на четвъртия коефициент. Операцията се повтаря до достигане на всички условия. Третият ред, който е получен въз основа на тези умножения, се приема като коефициент, с изключение на последния му срок, който ще се счита за останалата част от делението.
Резултатът се изразява, придружаващ всеки коефициент на променливата и степента, която й съответства, като започва да ги изразява с по-ниска степен от тази, която първоначално са имали.
- Теорема за остатъка: това е практически метод, използван за разделяне на полином P (x) от друг, чиято форма е xa; в който се получава само стойността на остатъка. За да приложите това правило, са изпълнени следните стъпки. Полиномиалният дивидент се записва без попълване или подреждане, след това променливата x на дивидента се заменя с противоположната стойност на независимия член на делителя. И накрая, операциите се решават в комбинация.
Теоремата за остатъка е метод, чрез който можем да получим остатъка от алгебрично деление, но при който не е необходимо да се прави каквото и да е разделяне.
- Метод на Руфини: Методът или правилото на Руфини е метод, който ни позволява да разделим полином на бином, а също така ни позволява да локализираме корените на полином, за да разделим на биноми. С други думи, тази техника дава възможност за разделяне или разлагане на алгебричен полином от степен n, в алгебраичен бином и след това в друг алгебричен полином със степен n-1. И за да е възможно това, е необходимо да се знае или да се знае поне един от корените на уникалния полином, за да е точно разделянето.
- Корените на многочлените: Корените на полином са определени числа, които правят полином на стойност нула. Можем също да кажем, че пълните корени на многочлен от целочислени коефициенти ще бъдат делители на независимия член. Когато решим полином, равен на нула, получаваме корените на полинома като решения. Като свойства на корените и факторите на многочлените можем да кажем, че нулите или корените на многочлен са от делителите на независимия член, който принадлежи към полинома.
Това ни позволява да открием остатъка от разделянето на многочлен p (x) на друга от формата xa, например. От тази теорема следва, че многочлен p (x) се дели на xa само ако a е корен на многочлена, само ако и само ако p (a) = 0. Ако C (x) е фактор и R (x) е остатъкът от разделянето на всеки полином p (x) на бином, който би бил (xa) числовата стойност на p (x), за x = a, той е равен на остатъка от неговото деление на xa.
Тогава ще кажем, че: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). Като цяло, за да се получи остатъкът от деление на Xa, е по-удобно да се приложи правилото на Руфини, отколкото да се замени x. Следователно теоремата за остатъка е най-подходящият метод за решаване на задачи.
В математическия свят правилото на Руфини е ефективна техника за разделяне на многочлен на бином от формата x - r. Правилото на Руфини е частен случай на синтетично деление, когато делителят е линеен фактор.
Методът на Руфини е описан от италианския математик, професор и лекар Паоло Руфини през 1804 г., който в допълнение към изобретяването на известния метод, наречен правило на Руфини, който помага да се намерят коефициентите на резултата от фрагментацията на полином от двучлен; Той също така открива и формулира тази техника върху приблизителното изчисляване на корените на уравненията.
Тогава, за всеки корен, например, от типа x = a съответства на бином от типа (xa). Възможно е да се изрази полином в фактори, ако го изразим като произведение или на всички биноми от типа (xa), които съответстват на корените, x = a, този резултат. Трябва да се отбележи, че сумата на степенните на биномите е равна на степента на полинома, трябва също така да се вземе предвид, че всеки полином, който няма независим член, ще приеме като корен x = 0, в противен случай ще приеме като Екс фактор.
Ще наречем полином „първи“ или „Несъкратим“, когато няма възможност да го разделим на фактори.
За да се задълбочим в темата, трябва да сме наясно с основната теорема за алгебрата, която гласи, че е достатъчно полином в непостоянна променлива и комплексни коефициенти да има толкова корени, колкото тяхната степен, тъй като корените имат своите множества. Това потвърждава, че всяко алгебрично уравнение на степен n има n сложни решения. Полином от степен n има максимум n реални корени.
Примери и упражнения
В този раздел ще поставим няколко алгебрични израза, решени упражнения за всяка от темите, обхванати в тази публикация.
Упражнения за алгебрични изрази:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Сума на многочлените
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Изваждане на многочлените
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Полиномиално деление
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 и
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Алгебрични изрази (двучлен на квадрат)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Теорема за остатъка
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Умножение на мономи
axn bxm = (a b) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Деление на мономи
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 и
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
-6 v2. ° С. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Събиране и изваждане на мономи
Упражнение: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Решение: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
